Este blog presenta información sobre el teorema de Pitágoras y el teorema de Euclides enseñando y mostrando de la forma mas sencilla dichos teoremas, facilitandote así la comprensión de ellos.
Gran matemático griego, escribió una serie de libros donde sintetizaba todos los conocimientos matemáticos conocidos hasta entonces.
Los más notables son los “Elementos”, trece volúmenes que tratan de proporciones aritméticas, geometría plana y geometría del espacio. Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias. La primera edición impresa de las obras de Euclides que apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín.
Teorema de Euclides
Este teorema es aplicable solamente al triángulo rectángulo. Se obtiene al trazar la altura desde el ángulo recto, que divide la hipotenusa en 2 trazos, que cumplen una proporción especial.
Entonces, Euclides postula que en todo triángulo rectángulo se cumple que:
1. El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
2. El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la hipotenusa:
Si has encontrado interesante el teorema de Euclides y estás interesado en practicar algunos ejercicios. puedes encontrar en http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm sector E. media, geometría, Teorema de Euclides.
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual, a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
Demostraciones:
China: el Chou Pei Suan Ching
El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
ya que .
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:
Con lo cual queda demostrado el teorema.
Demostración de Platón: el Menón
En uno de los meandros del Menón se plantea el problema de la duplicación del cuadrado –izquierda y centro-. La solución que elabora Platón encierra inesperadamente una demostración del teorema de Pitágoras , si bien referida exclusivamente a los triángulos rectángulos isósceles.
Platón construye un cuadrado cuyo lado es de dos unidades (izquierda, gris). Su área vale lo de cuatro unidades cuadradas. Trazando un nuevo cuadrado sobre su diagonal AB, obtiene un cuadrado de ocho unidades cuadradas (centro, azul), doble superficie de la del primero.[2] Hasta aquí la duplicación del cuadrado. Pero también se ha demostrado el teorema de Pitágoras (derecha): el área del cuadrado azul (8u2) construido sobre la hipotenusa AB del triángulo rectángulo ABC, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados grises (4u2 cada uno) construidos sobre los catetos AC y BC. Generalizando: cada uno de los cuadrados construidos sobre la hipotenusa (la diagonal del cuadrado inicial) contiene cuatro de dichos triángulos.
Queda demostrado el teorema de Pitágoras, si bien restringido a los triángulos rectángulos isósceles.
Demostración de Garfield:
El polígono construido por Garfield es un trapecio de bases a y b, compuesto por tres triángulos rectángulos.
James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos [5] , desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.
Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia:
como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:
igualando:
lo que finalmente nos da c2 = a2 + b2, y el teorema está demostrado.
Demostración de Bhaskara
Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, nos da la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.
Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b).
Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.
Se ha demostrado gráficamente que c2 = a2 + b2
Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a-b), es decir:
expresion que desarrollada y simplificada nios da el resultado c2 = a2 + b2, y el teorema queda demostrado
.
